齐性空间与利用群作用定义仿射空间
齐性空间（Homogeneous Space）与主齐性空间（Principal Homogeneous Space）
1. 齐性空间（Homogeneous Space）
定义
- 设 \(G\) 是一个群，\(M\) 是一个集合（或几何空间）。若 \(G\) 在 \(M\) 上有一个传递的群作用（即对任意 \(x, y \in M\)，总存在 \(g \in G\) 使得 \(g \cdot x = y\)），则称 \(M\) 是 \(G\) 的齐性空间。
- 齐性空间是一个“处处对称”的空间，群作用将任何点移动到其他点，使得所有点的局部结构一致。
数学形式
若群作用传递，则 \(M\) 可表示为商空间： $$ M \cong G/H, $$ 其中 \(H\) 是 \(G\) 的某个闭子群（称为稳定子群或迷向子群），即空间中某一点的稳定子群。
关键性质
- 传递性：所有点通过群作用“等价”。
- 几何统一性：任意两点处的局部坐标系可通过群作用相互转化。
典型例子
- 球面 \(S^2\) 是三维旋转群 \(SO(3)\) 的齐性空间：通过旋转能将任何点移动到球面上的其他位置。
- 线性空间 \(\mathbb{R}^n\) 是平移群的齐性空间，任何点可通过平移移至目标点。
2. 主齐性空间（Principal Homogeneous Space / Torsor）
定义
- 若群 \(G\) 在集合 \(M\) 上的作用不仅是传递的，而且是自由的（即所有稳定子群均为平凡子群：对任意 \(x \in M\)，若 \(g \cdot x = x\)，则 \(g = e\)，其中 \(e\) 是群单位元），则称 \(M\) 是 \(G\) 的主齐性空间。
- 主齐性空间可以理解为“没有原点的群”，空间中任意点均可被视为一个不固定的“广义群元素”。
数学形式
满足以下条件： 1. 自由性：群作用无固定点（即作用中唯一保持某点不变的群元素是单位元）。 2. 传递性：任意两点可通过唯一的群元素连接。
关键性质
- 一一对应：每个点 \(x \in M\) 给出一个双射 \(G \to M\)，即 \(g \mapsto g \cdot x\)。
- 自然减法运算：对任意 \(x, y \in M\)，存在唯一的 \(g \in G\) 使得 \(y = g \cdot x\)。这个 \(g\) 可表示为 \(y - x\)，类似向量减法。
典型例子
- 仿射空间：向量空间 \(V\) 的平移群作用于仿射空间 \(A\) 时，作用自由且传递，因此仿射空间是主齐性空间。
- 挠主齐性空间（Torsor）：如一个圆 \(S^1\) 的切丛视为 \(\mathbb{R}\) 的主齐性空间，其中平移可视为角度相加但不固定原点。
3. 核心区别
| 属性 | 齐性空间 | 主齐性空间 |
|---|---|---|
| 群作用 | 传递但未必自由 | 传递且自由 |
| 稳定子群 | 非平凡（可能存在） | 平凡（仅单位元） |
| 几何意义 | “对称但可能有固定点” | “对称且无固定原点” |
| 唯一性 | 两点间的群元素不唯一 | 两点间的群元素唯一确定 |
4. 直观类比
- 齐性空间：如一个公园的旋转木马，虽然每个椅子能转到任意位置（传递性），但中心轴固定（存在稳定子群对应的旋转轴）。
- 主齐性空间：如一群人在广场上自由移动且不留痕迹，每个人的位置只能通过与某个参考点的唯一位移确定（无固定中心，自由且传递）。
5. 数学应用
- 齐性空间：常见于对称性研究（如李群作用下流形的分类）、表示论（如商空间的结构分析）。
- 主齐性空间：在纤维丛理论（主纤维丛）、仿射几何、Galois上同调（挠空间）中有重要应用。
用群作用定义仿射空间的步骤说明
1. 基本概念回顾
- 仿射空间：无原点的几何结构，允许自由平移。每两点确定一个向量，但无固定起点。
- 群作用：群 \(G\) 在集合 \(A\) 上的作用满足结合性和单位元恒等性。特别地，若作用自由且传递，则称 \(A\) 为 \(G\) 的主齐性空间。
2. 定义仿射空间的群作用框架
设： - 向量空间 \(V\)：提供“平移向量”的结构，其加法群 \((V, +)\) 是一个交换群。 - 集合 \(A\)：待定义的仿射空间。
群作用定义： 向量空间 \(V\) 作为加法群，以平移的方式作用在集合 \(A\) 上，满足： 1. 自由性：对任意 \(a \in A\)，若存在 \(v \in V\) 使 \(a + v = a\)，则必有 \(v = 0\)（即无固定点的平移）。 2. 传递性：对任意 \(a, b \in A\)，存在唯一的 \(v \in V\) 使得 \(a + v = b\)。
3. 形式化定义
一个仿射空间是一个有序三元组 \((A, V, +)\)，其中： - \(A\) 是一个非空集合， - \(V\) 是域 \(K\) 上的向量空间， - \(+: A \times V \to A\) 是映射（称为平移作用）， 满足以下公理： - 群作用公理： - 对任意 \(a \in A\)，有 \(a + 0 = a\)。 - 对任意 \(a \in A\) 和 \(v, w \in V\)，有 \((a + v) + w = a + (v + w)\)。 - 自由且传递性： 对任意 \(a, b \in A\)，存在唯一的 \(v \in V\) 使得 \(a + v = b\)。
4. 关键性质的推导
- 减法运算的定义： 由唯一性条件，定义 \(b - a\) 为满足 \(a + (b - a) = b\) 的唯一向量 \(v \in V\)。
- 线性关系：对于任意三点 \(a, b, c \in A\)，有 \((b - a) + (c - b) = c - a\)（类似向量加法）。
- 仿射组合的兼容性： 对于标量 \(\lambda \in K\)，点 \(a \in A\)，以及向量 \(v \in V\)，可定义“仿射平移”为 \(a + \lambda v\)，该操作满足线性缩放性质。
5. 对比传统公理化定义
传统定义通常要求： 1. 对每一点 $a \in A \，和向量 \(v \in V\)，存在唯一点 \(b = a + v\)。 2. 对任意三点 \(a, b, c \in A\)，有 \((a - b) + (b - c) = a - c\)。
而这些性质恰由群作用的自由传递性自然推出，验证如下： - 存在唯一平移向量：传递性和自由性直接保证。 - 向量减法结合律：通过唯一性可推导出线性关系。
6. 几何直观
- 无原点性：任意点 \(a \in A\) 均可通过平移 \(v \in V\) 到达任意其他点，但无特殊起点。
- 坐标的灵活性：选择任一点作为“原点”可诱导坐标系，但坐标依赖于原点选择。
结论
仿射空间可通过向量空间 \(V\) 的平移群在其上的自由且传递的作用严格定义。此定义方式： - 避免明确原点，直接通过群作用的对称性构建几何结构； - 与传统公理化等价，但更突出平移操作的代数本质； - 自然导出减法运算，满足仿射空间的线性关系。
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